Razones, Proporciones y Porcentajes

Razones

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son  a y b, la razón entre ellas se escribe como:

Ejemplo:

En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?

La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de  "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.

El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón

 

Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

Proporciones 

Una proporción es la igualdad de dos razones.

En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:

Ejemplo:

Si tenemos la proporción: 

Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:

3  • 20  =  4 • 15, es decir, 60 = 60

Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.

Porcentajes

El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones .

El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo.

Ejemplos:

1 centésimo  = 

5 centésimos = 

50 centésimos = 

El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).

En el cálculo intervienen cuatro componentes:

Cantidad Total             ----             100 % 

Cantidad Parcial           ----            Porcentaje Parcial

Problema:

En las secciones A, B y C del curso de cálculo 3, el 58% aprobó el curso en primera convocatoria, el 32% lo aprobó en la segunda convocatoria y los 25 alumnos restantes se retiraron el curso. a) ¿Cuántos alumnos aprobaron el curso en primera convocatoria? Si la razón entre hombres y mujeres es de 3:2, b) ¿Cuántos hombres y mujeres hay en los 25 alumnos que se retiraron el curso?

Paso no. 1 Comprender el problema.

                   Investigar cuántos alumnos aprobaron el curso en la primera convocatoria y cuántos hombres y mujeres se retiraron el curso.

Paso no. 2 Formular un plan.

                   Razones, proporciones y porcentajes.

Paso no. 3 Llevar a cabo el plan.

58% = 1 convocatoria

32% = 2 convocatoria

25 alumnos se retiraron

58% + 32% = 90% aprobaron

25  --  10%

 ?   --  100%

250  --  100%             250  --  100%

 ?     --   58%                 ?   --   32%

  

145 alumnos aprobaron en la primera convocatoria.

80 alumnos aprobaron en la segunda convocatoria.

Hombres 3:2 mujeres

a : b = 3:2

a + b = 25

a : b = 3x:2x

3x + 2x = 25

x = 5

a:b = 3(5):2(5)

a:b = 15:10

Paso no. 4 Revisar y Comprobar.

Para comprobar la cantidad de alumnos, sumamos los resultados de los porcentajes para obtener el 100% de los alumnos:
                                    
                                         25 + 145 + 80 = 250

Para comprobar la relación entre hombres y mujeres, sumamos los resultados de esta manera:

15 + 10 = 25

Respuestas:

a) 145 alumnos aprobaron en la primera convocatoria.

b) 15 hombres y 10 mujeres se retiraron el curso.

Egrafía

• https://www.portaleducativo.net/septimo-basico/293/Razones-proporciones
• http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Porcentaje_calcular.html